工程项目投资的时间价值计算

 一、基本概念:

1、资金的时间价值——资金在投入生产流动过程中,随着时间的推移,在将来可获得一个增值,这个增值就是资金的时间价值。它可以表现为利息和利润。

请注意区分资金和货币这两个不同的概念。货币不一定有时间价值,货币只有投入生产流动,变成资本金,才会获得增值。

2、利率(i)——单位时间内增加的利息与本金之比。

3、利息周期——即利率的时间单位。通常为年和月,也可以是半年、季度、星期、天等。

4、利息周期数(n)——在资金的流动期内所经历的利息周期的个数。

5、现值(P)——是指资金流动开始时的值,即当前值。

6、终值(F)——是指资金流动结束时的值,即将来值。

7、年值(A)——又称年金,是指每年等额支付的资金。

8、现金流量图:

  绘制方法,如图所示:

    

要求在现金流量图中标明:(1)利息周期;(2)利息周期数;(3)投资主体;(4)在某一时点上的现金流动变化量。

二、单利利息的计算:

所谓单利,是指利不再生利。

利息            

本利和          

举例:(见上图)I=1000×1%×3=30(元),F=P+I=1030(元)。

三、复利利息的计算:

所谓复利,是指在每一个计息周期末所产生的利息将进入本金再产生利息,即利还要生利。

6个公式,分三种情况。

1.一次借款,一次偿还的情况:

1)求偿还额:

    某单位向银行借款额为P,年利率为i,按复利计息,n年后应偿还的本利和F为多少?

解:∵第1年末的本利和为:F1=P(1+i)

      第2年末的本利和为:F2=F1(1+i)=P(1+i)2

      … …  … …

      第n年末的本利和为:Fn=… …=P(1+i)n

    ∴n年后应偿还的本利和为

F=P(1+i)n                一次支付终值公式

    (1+i)n 称为一次支付终值系数,用(F/P,i,n)表示。

例:(见上图)F=1000(1+1%)3=1000×1.0303=1030.3(元)。

2)求借款额:

解:由一次支付终值公式F=P(1+i)n  得:

P=F(1+i)-n       一次支付现值公式

    (1+i)-n 称为一次支付现值系数,用(P/F,i,n)表示。

2.分期等额借款,一次偿还的情况:

1)求偿还额:

    

  某单位每年年末向银行借款额为A,年利率为i,按复利计息,n年后应偿还的本利和F为多少?

解:∵第1年末借A,(n-1)年后的偿还额为:F1=A(1+i)n-1

      第2年末借A,(n-2)年后的偿还额为:F2=A(1+i)n-2

      … …  … …

      第(n-1)年末借A,1年后的偿还额为:Fn-1=A(1+i)1

      第n年末借A,   本年末的偿还额为:Fn=A

    ∴n年后应偿还的本利和为:

    F=F1+F2+… …+Fn

     =A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+… …+A(1+i)1+A

     =A[1+(1+i)1+(1+i)2+… …+(1+i)n-1]

根据等比数列n项和的公式:

        

                      等额支付终值公式

或者:令 F=A[1+(1+i)1+(1+i)2+… …+(1+i)n-1]     为(1)式

给(1)式两边同时乘以(1+i)得(2)式:

        F(1+i)=A[(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+… …+(1+i)n]  (2)

用(2)-(1)即得:

              等额支付终值公式

     称为等额支付终值系数,用(F/A,i,n)表示。

例:某人为其子女将来读书积资,打算从现在起每月末从工资中取出50元存入银行。假设月息为1%,按复利计息,则18年后,可积资多少?

解:  ,本金:50×216=10800(元)。

2)求借款额:

解:由等额支付终值公式  得:

      等额支付基金公式

     称为等额支付基金系数,用(A/F,i,n)表示。

例:某人10年后退休,他打算退休后在银行能有10万元的存款,那么,从现在起他每月末应从工资中提取多少元存入银行?假设月息为1%,按复利计息。

解: 

3.一次借款,分期等额偿还的情况:

1)求偿还额:

    某厂借款购进设备,设备运转后,每年末从生产利润中提取等额资金偿还借款本利和,n年还清。假设借款额为P,年利率为i,按复利计息。则每年末应从生产利润中提取多少资金偿还借款本利和?

解:这里是要寻求AP的关系。

    而前面我们已经推导出了:

    FP的关系:    F=P(1+i)n                       (1)

    AF的关系:                       (2)

    这两个已知关系中,必然隐含了AP的关系。

    (1)式带入(2)

                              资金回收公式

     称为资金回收系数,用(A/P,i,n)表示。

例:某房地产公司出售商品房,每套20万元,采用分期付款方式。要求住户首付30%,其余分10年付清,每月从工资中等额扣回。假设月息1%,按复利计息。则每月从工资中扣除多少,才能在10年内恰好收回余款?

解:首付:20×30%=6(万元),余款:P=20(1-30%)=14(万元)

    

2)求借款额:

解:由资金回收公式  得:

           等额支付现值公式

     称为等额支付现值系数,用(P/A,i,n)表示。

 

复利计算常用公式

序号

公式名称

已知

求解

公式

1

一次支付终值公式

Pin

F

 F=P(1+i)n 

2

一次支付现值公式

Fin

P

 P=F(1+i)-n 

3

等额支付终值公式

Ain

F

4

等额支付基金公式

Fin

A

5

资金回收公式

Pin

A

6

等额支付现值公式

Ain

P

综合例题:

    某企业95年初借外资购进设备,按年复利10%计息。外商提出两个还债方案:第一方案为99年年末一次偿还现金650万美圆;第二方案为用产品逐年抵押,这相当于979899年每年的年末还债200万美圆。试分别画出该企业两个方案的现金流量图,并计算回答哪个方案对该企业较为经济?

解:

 

 

 

 

        

          F1=650万美圆<F2=662万美圆,

         第一方案对该企业较为经济。

  或者: 

        A1=196(万美圆)<A2=200(万美圆),

        第一方案对该企业较为经济。

习题:

1.        某建筑公司预计今后5年中,每年末拿出500万元作为生产基金,将其投资生产预制构件,投资年利率为10%。问到第五年末,该公司共得多少万元?这相当于现在一次投资多少万元?并请绘出该公司的现金流量图。

 

 

2.  某市新建旅游宾馆,计划3年建成,向国外借款,按年复利10%计息。现有两个施工方案,每年所需资金见表:

要求:(1)绘出该市分别采用两个方案时的现金流量图;(2)计算到竣工时,每个方案的实际总造价;(3)试判断哪一方案较优?

 
施工

年度

每年初需用资金

(万美圆)

方案一

方案二

1

1500

3000

2

2000

1000

3

1500

800

 

 

 

四、名义利率与实际利率:

    当利息周期不为一年时,就存在一个名义利率和实际利率的问题。

1、实际利率:其利息周期可以为年、半年、月、日等,当把半年、月、或日利率换算成年利率时,要考虑利息的时间价值。

    例如,把月利率换算成年实际利率,采用以下公式:

i=(1+i)12-1

2、名义利率:其利息周期总是以年为单位,当把半年、月、或日利率换算成年利率时,不要考虑利息的时间价值。

    例如,把月利率换算成名义利率,采用以下公式:

r=i×12

3、换算:只有把名义利率换算成实际利率,才能进行投资方案的分析和比较。公式如下:

       t = 1时,i = r; 当t > 1时,i > r。 因此i ≥ r

例:甲银行年息10%,每半年计息一次。乙银行年息9%,每月计息一次。问向哪家银行借款较为经济?

解:    i=(1+r/t)t-1=(1+10/2)2-1=10.25

        i=(1+r/t)t-1=(1+9/12)12-1=9.38%,    i>i

       向乙银行借款较为经济。
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